2021年信息学奥赛CSP-S1提高组初赛真题试卷

选择题

第 1 题单选题

在 Linux系统终端中，用于列出当前目录下所含的文件和子目录的命令为（）。

all

第 2 题单选题

设一个三位数n=abc———，a, b, c均为 1～9之间的整数，若以 a、 b、 c作为三角形的三条边可以构成等腰三角形（包括等边），则这样的 n有（）个。

120

165

216

第 3 题单选题

有 8个苹果从左到右排成一排，你要从中挑选至少一个苹果，并且不能同时挑选相邻的两个苹果，一共有（）种方案。

第 4 题单选题

斐波那契数列的定义为：F₁=1，F₂=1，F_n=F_n-1+F_n-2 (n>=3)。现在用如下程序来计算斐波那契数列的第 n项，其时间复杂度为（）。

F(n):

if n<=2 return 1

else return F(n-1) + F(n-2)

O(n)

O(n²)

O(2ⁿ)

O(nlogn)

第 5 题单选题

有如下递归代码

solve(t, n):
if t=1 
    return 1
else 
    return 5*solve(t 1,n) mod n

则 solve(23,23)的结果为（）。

第 6 题单选题

定义一种字符串操作为交换相邻两个字符。将“DACFEB”变为 “ABCDEF”最少需要（）次上述操作。

第 7 题单选题

前序遍历和中序遍历相同的二叉树为且仅为（）。

只有 1个点的二叉树

根结点没有左子树的二叉树

非叶子结点只有左子树的二叉树

非叶子结点只有右子树的二叉树

第 8 题单选题

令根结点的高度为 1，则一棵含有 2021个结点的二叉树的高度至少为（）。

2021

第 9 题单选题

G是一个非连通简单无向图（没有自环和重边），共有 36条边，则该图至少有（）个点。

第 10 题单选题

现有一个地址区间为 0～10的哈希表，对于出现冲突情况，会往后找第一个空的地址存储（到 10冲突了就从 0开始往后），现在要依次存储（0，1，2，3，4，5，6，7），哈希函数为 h(x)=x²mod11。请问 7存储在哈希表哪个地址中（）。

第 11 题单选题

以比较为基本运算，对于 2n个数，同时找到最大值和最小值，最坏情况下需要的最小的比较次数为（）。

4n-2

3n+1

3n 2

2n+1

第 12 题单选题

以下排序方法中，（）是不稳定的。

插入排序

冒泡排序

堆排序

归并排序

第 13 题单选题

在程序运行过程中，如果递归调用的层数过多，可能会由于（）引发错误。

系统分配的栈空间溢出

系统分配的队列空间溢出

系统分配的链表空间溢出

系统分配的堆空间溢出

第 14 题单选题

二进制数 00101010₂和 00010110₂的和为（）。

00111100₂

01000000₂

00111100₂

01000010₂

第 15 题单选题

有如下的有向图，节点为 A, B, … , J, 其中每条边的长度都标在图中。则节点 A到节点 J的最短路径长度为（）。

阅读程序

第 16-21 题组合题

2021年CSP-S提高组初赛阅读程序题：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
const double r = acos(0.5);
 
int a1, b1, c1, d1;
int a2, b2, c2, d2;
 
inline int sq(const int x) { return x * x; }
inline int cu(const int x) { return x * x * x; }
 
int main()
{
  cout.flags(ios::fixed);
  cout.precision(4);
 
  cin >> a1 >> b1 >> c1 >> d1;
  cin >> a2 >> b2 >> c2 >> d2;
 
  int t = sq(a1 - a2) + sq(b1 - b2) + sq(c1 - c2);
 
  if (t <= sq(d2 - d1)) cout << cu(min(d1, d2)) * r * 4;
  else if (t >= sq(d2 + d1)) cout << 0;
  else {  
    double x = d1 - (sq(d1)   sq(d2) + t) / sqrt(t) / 2;
    double y = d2 - (sq(d2)   sq(d1) + t) / sqrt(t) / 2;
      cout << (x * x * (3 * d1 - x) + y * y * (3 * d2 - y)) * r;
  }
  cout << endl;
  return 0;
}

假设输入的所有数的绝对值都不超过 1000，完成下面的判断题和单选题

第16题判断

将第21行中t的类型声明从 int改为 double，不会影响程序运行的结果。（）

正确

错误

第17题判断

将第 26、27行中的“/ sqrt(t) / 2”替换为“/ 2 / sqrt(t)”，不会影响程序运行的结果。（）

正确

错误

第18题判断

将第 28行中的“x * x”改成“sq(x)”、“y * y”改成“sq(y)” ，不会影响程序运行的结果。（）

正确

错误

第19题判断

当输入为“0 0 0 1 1 0 0 1”时，输出为“1.3090”。（）

正确

错误

第20题单选

当输入为“1 1 1 1 1 1 1 2”时，输出为（）。

“3.1416”

“6.2832”

“4.7124”

“4.1888”

第21题单选

这段代码的含义为（）。

求圆的面积并

求球的体积并

求球的体积交

求椭球的体积并

第 22-27 题组合题

2021年CSP-S提高组初赛阅读程序题：

 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 using namespace std;
 
 int n, a[1005]; 
 
 struct Node 
 {  
    int h, j, m, w; 
 
    Node(const int _h, const int  j, const int  m, const int _w):
        h(_h), j(_j), m(_m), w( w)
    { } 
 
    Node operator+(const Node &o) const
    {
        return Node(
            max(h, w + o.h),
            max(max(j, 0.j),m + o.h),
            max(m + o.w, o.m),
            w + o.w);
    }
 }
 
 Node solve1(int h, int m)
 {
     if (h > m)
         return Node(-1, -1, -1, -1);
     if (h == m)
         return Node(max(a[h], 0), max(a[h], 0), max(a[h], 0), a[h]);
     int j = (h + m) >> 1;
     return solve1(h,j) + solve1(j + 1, m);
 }
 
 int solve2(int h, int m)
 {
     if (h > m)
         return -1;
     if (h == m)
         return max(a[h], 0);
     int j = (h + m) >> 1;
     int wh = 0, wm = 0;
     int wht = 0, wmt = 0;
     for (int i = j; i >= h; i--) {
         wht += a[i];
         wh = max(wh, wht);
     }
     for (int i = j + 1; i <= m; i++) {
         wmt += a[i];
         wm = max(wm, wmt);
     }
     return max(max(solve2(h, j), solve2(j + 1, m)), wh + wm);
 } 
 
 int main()
 { 
     cin >> n;
     for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
     cout << solve1(1, n).j <<endl;
     cout << solve2(1, n) << endl;
     return 0;
 }

假设输入的所有数的绝对值都不超过 1000，完成下面的判断题和单选题：

第22题判断

程序总是会正常执行并输出两行两个相等的数。（）

正确

错误

第23题判断

第 28行与第 38行分别有可能执行两次及以上。（）

正确

错误

第24题判断

当输入为“5-1011-95-7”时，输出的第二行为“7”。（）

正确

错误

第25题单选

solve1(1, n) 的时间复杂度为（）。

Θ(logn)

Θ(n)

Θ(nlogn)

Θ(n²)

第26题单选

solve2(1, n) 的时间复杂度为（）。

Θ(logn)

Θ(n)

Θ(nlogn)

Θ(n²)

第27题单选

当输入为“10 -3 2 10 0 -8 9 -4 -5 9 4”时，输出的第一行为（）

“13”

“17”

“24”

“12”

第 28-33 题组合题

2021年CSP-S提高组初赛阅读程序题：

 #include <iostream>  
 #include <string>  
 using namespace std;  
 
 char base[64];  
 char table[256];  
 
 void init()   
 {
    for (int i = 0; i < 26; i++) base[i] = 'A' + i;
    for (int i = 0; i < 26; i++) base[26 + i] = 'a' + i;
    for (int i = 0; i < 10; i++) base[52 + i] = '0' + i;
    base[62] = '+', base[63] = '/';
 
    for (int i = 0; i < 256; i++) table[i] = 0xff;
    for (int i = 0; i < 64; i++) table[base[i]] = i;
    table['='] = 0;
 } 
 
 string encode(string str)
 { 
    string ret;
    int i;
    for (i = 0; i + 3 <= str.size(); i += 3) {
        ret += base[str[i] >> 2];
        ret += base[(str[i] & 0x03) << 4 | str[i + 1] >> 4];
        ret += base[(str[i + 1] & 0x0f) << 2 | str[i + 2] >> 6];
        ret += base[str[i + 2] & 0x3f];
    }
    if (i < str.size()) {
        ret += base[str[i] >> 2];
        if (i + 1 == str.size()) {
            ret += base[(str[i] & 0x03) << 4];
            ret += "==";
        }
        else {
            ret += base[(str[i] & 0x03) << 4 | str[i + 1] >> 4];
            ret += base[(str[i + 1] & 0x0f) << 2];
            ret += "=";
        } 
    }
    return ret;
 }
 
 string decode(string str)
 {
    string ret;
    int i;
    for (i = 0; i < str.size(); i += 4) {
        ret += table[str[i]] << 2 | table[str[i + 1]] >> 4;
        if (str[i + 2] != '=')
            ret += (table[str[i + 1]] & 0x0f) << 4 | table[str[i + 2]] >> 2;
        if (str[i + 3] != '=')
            ret += table[str[i + 2]] << 6 | table[str[i + 3]];
    }
    return ret;
 }

假设输入总是合法的（一个整数和一个不含空白字符的字符串，用空格隔开），完成下面的判断题和单选题：

第28题判断

程序总是先输出一行一个整数，再输出一行一个字符串。（）

正确

错误

第29题判断

对于任意不含空白字符的字符串 str1，先执行程序输入“0str1”，得到输出的第二行记为 str2；再执行程序输入“1str2”，输出的第二行必为 str1。（）

正确

错误

第30题判断

当输入为“1SGVsbG93b3JsZA==”时，输出的第二行为“HelloWorld”。（）

正确

错误

第31题单选

设输入字符串长度为 n，encode函数的时间复杂度为（）。

Θ(√n)

Θ(n)

Θ(nlogn)

Θ(n²)

第32题单选

输出的第一行为（）。

“0xff”

“255”

“0xFF”

“-1”

第33题单选

当输入为“0CSP2021csp”时，输出的第二行为（）。

“Q1NQMjAyMWNzcAv=”

“Q1NQMjAyMGNzcA==”

“Q1NQMjAyMGNzcAv=”

“Q1NQMjAyMWNzcA==”

完善程序

第 34-37 题组合题

（魔法数字）小 H的魔法数字是 4。给定n，他希望用若干个 4进行若干次加法、减法和整除运算得到。但由于小 H计算能力有限，计算过程中只能出现不超过 M= 10000的正整数。求至少可能用到多少个 4。

例如，当 =2时，有 2=(4 + 4)/4，用到了 3个 4，是最优方案。

试补全程序。

 #include <iostream>
 #include <cstdlib> 
 #include <climits> 
  
 using namespace std; 
  
 const int M = 10000; 
 bool Vis[M + 1]; 
 int F[M + 1]; 
  
 void update(int &x, int y) {
     if (y < x)
        x = y;
 }
 
 int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i <= M; i++)
        F[i] = INT_MAX;
    ①
    int r = 0;
    while (②) {
        r++;
        int x = 0;
        for (int i = 1; i <= M; i++)
           if (③)
               x = i;
        Vis[x] = 1;
        for (int i = 1; i <= M; i++)
            if (④) {   
                int t = F[i] + F[x]; 
                if (i + x <= M)  
                    update(F[i + x], t); 
                if (i != x)   
                    update(F[abs(i - x)], t);
                if (i % x == 0)  
                    update(F[i / x], t); 
                if (x % i == 0) 
                    update(F[x / i], t);
            }    
    }
    cout << F[n] << endl; 
    return 0;    
 }

第34题单选

①处应填（）

F[4] = 0

F[1] = 4

F[1] = 2

F[4] = 1

第35题单选

②处应填（）

!Vis[n]

r < n

F[M] == INT_MAX

F[n] == INT_MAX

第36题单选

③处应填（）

F[i] == r

!Vis[i] && F[i] == r

F[i] < F[x]

!Vis[i] && F[i] < F[x]

第37题单选

④处应填（）

F[i] < F[x]

F[i] <= r

Vis[i]

i <= x

第 38-43 题组合题

RMQ区间最值问题）给定序列a₀, … ,a_n-1，和m次询问，每次询问给定l,r，求max {a_l, … ,a_r}

为了解决该问题，有一个算法叫theMethodofFourRussians，其时间复杂度为O(n+m)，步骤如下：

·建立 Cartesian（笛卡尔）树，将问题转化为树上的 LCA（最近公共祖先）问题。

·对于 LCA问题，可以考虑其 Euler序（即按照 DFS过程，经过所有点，环游回根的序列），即求 Euler序列上两点间一个新的 RMQ问题。

·注意新的问题为 ±1RMQ，即相邻两点的深度差一定为 1。

下面解决这个 ±1RMQ问题，“序列”指 Euler序列：

·设t为 Euler序列长度。取b=[]。将序列每b个分为一大块，使用 ST表（倍增表）处理大块间的 RMQ问题，复杂度O(logt)=O(n)。

·（重点）对于一个块内的 RMQ问题，也需要O(1) 的算法。由于差分数组 2^b-1种，可以预处理出所有情况下的最值位置，预处理复杂度O(b2^b)，不超过O(n

)。

·最终，对于一个查询，可以转化为中间整的大块的 RMQ问题，以及两端块内的 RMQ问题。

试补全程序。

 #include <iostream>
 #include <cmath>
 
 using namespace std;
 
 const int MAXN = 100000, MAXT = MAXN << 1;
 const int MAXL = 18, MAXB = 9, MAXC = MAXT / MAXB;
 
 struct node {
     int val;
     intdep, dfn, end;
     node *son[2]; // son[0], son[1] 分别表示左右儿子
 } T[MAXN];
 
 int n, t, b, c, Log2[MAXC + 1];
 int Pos[(1 << (MAXB - 1)) + 5], Dif[MAXC + 1];
 node *root, *A[MAXT], *Min[MAXL][MAXC];
 
 void build() { // 建立 Cartesian 树
     static node *S[MAXN + 1];
     int top = 0;
     for (int i = 0; i < n; i++) {
         node *p = &T[i];
         while(top && S[top]->val < p->val)
             ①;
         if (top)
             ②;
         S[++top] = p;
     }
     root = S[1];
 }
 
 void DFS(node *p) { // 构建 Euler 序列
     A[p->dfn = t++] = p;
     for (int i = 0; i < 2; i++)
         if (p->son[i]) {
             p->son[i]->dep = p->dep + 1;
             DFS(p->son[i]);
             A[t++] = p; 
         } 
     p->end = t   1; 
 }

第38题单选

①处应填（）

p->son[0] = S[top--]

p->son[1] = S[top--]

S[top--]->son[0] = p

S[top--]->son[1] = p

第39题单选

②处应填（）

p->son[0] = S[top]

p->son[1] = S[top]

S[top]->son[0] = p

S[top]->son[1] = p

第40题单选

③处应填（）

x->dep < y->dep

x < y

x->dep > y->dep

x->val < y->val

第41题单选

④处应填（）

A[i * b + j-1] == A[i * b + j]->son[0]

A[i * b + j]->val < A[i * b + j-1]->val

A[i * b + j] == A[i * b + j-1]->son[1]

A[i * b + j]->dep < A[i * b + j-1]->dep

第42题单选

⑤处应填（）

v += (S >> i & 1) ? -1 : 1

v += (S >> i & 1) ? 1 : -1

v += (S >> (i-1) & 1) ? 1 : -1

v += (S >> (i-1) & 1) ? -1 : 1

第43题单选

⑥处应填（）

(Dif[p] >> (r - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)

Dif[p]

(Dif[p] >> (l - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)

(Dif[p] >> ((p + 1) * b - r)) & ((1 << (r - l + 1)) - 1)

答题卡

选择题

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

阅读程序

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

完善程序

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43