问题描述:
给定一个包含 n 个整数的数组,找到数组中的最大值。要求使用分治法进行求解。
分析:
分治法是一种将问题划分为小规模子问题的算法,通过递归的方式求解子问题,并将结果合并为原问题的解。对于求数组最大值的问题,我们可以采用分治法将其划分为两个子问题,分别求解左半部分的最大值和右半部分的最大值,然后返回两个最大值中的较大值。
证明:
为了证明上述算法的正确性,我们需要证明以下两点:
递归的终止条件是正确的。当 left == right 时,数组中只有一个元素,直接返回该元素的值即可。当 right - left == 1 时,数组中只有两个元素,返回其中较大的一个即可。
在每一次递归中,我们能够正确地计算出左半部分和右半部分的最大值,并将它们返回。由于每一次递归都是对原问题规模的一半进行求解,因此在最坏情况下,递归树的深度为 O(log n)。
代码:
以下是上述算法的实现代码:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int div_max(vector<int>& nums, int left, int right) { if (left == right) { return nums[left]; } else if (right - left == 1) { return max(nums[left], nums[right]); } int mid = left + ((right - left) >> 1); int max_left = div_max(nums, left, mid); int max_right = div_max(nums, mid + 1, right); return max(max_left, max_right); } int main() { vector<int> nums = {4, 7, 6, 5, 4, 3, 2}; cout << div_max(nums, 0, nums.size() - 1) << endl; // 注意这里应该使用 nums.size() - 1 作为右边界 return 0; }
解释:
上述代码中,我们首先判断当前子数组的规模是否为 1 或 2,如果是,则直接返回其中的最大值。否则,我们计算出当前子数组的中间位置 mid,并递归求解左半部分的最大值 max_left 和右半部分的最大值 max_right,最后返回它们中的较大值。
复杂度分析:
上述算法的时间复杂度为 O(log n),其中 n 是数组的长度。这是因为在每一次递归中,我们都是将原问题的规模缩小一半,因此递归树的深度为 O(log n)。由于在每一次递归中都需要计算最大值,因此时间复杂度为 O(n)。但由于递归树深度较浅,因此总的时间复杂度为 O(n log n)。空间复杂度为 O(log n),因为递归过程中需要使用到栈空间。